Part. 2. Statistiques descriptives
C. Analyse multivariée
Katia Meziani
Librairies et jeu de données
library(rmarkdown)
library(tidyverse) # pour %>%
library(kableExtra) # kbl
library(knitr) # kable
library(ggplot2)
library(plotly) # graphes dynamiques
library(MASS)
library(corrplot) # corrplot
library(GGally) # ggpairs
library(gridExtra) # co-plot pour ggplotTélécharger le jeu de données EPO modifié et nommer le
mydata.
Transformer la nature des variables nécessaires.
mydata$sexe<-as.factor(mydata$sexe)
mydata$taille<-as.numeric(mydata$taille)
mydata$Score<-as.factor(mydata$Score)
mydata$niveau<-ordered(mydata$niveau,levels=c("L1_2","L3","M1_2"))
str(mydata)## 'data.frame': 38 obs. of 6 variables:
## $ sexe : Factor w/ 2 levels "F","H": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
## $ age : int 22 20 25 34 20 19 18 21 21 21 ...
## $ taille : num 1.7 1.66 1.65 1.62 1.66 1.64 1.61 1.63 1.63 1.65 ...
## $ niveau : Ord.factor w/ 3 levels "L1_2"<"L3"<"M1_2": 2 2 3 3 2 1 2 2 2 2 ...
## $ scoreConnaissance: int 3 3 1 3 2 1 1 2 3 3 ...
## $ Score : Factor w/ 3 levels "=3","inf à 3",..: 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 ...Pour alléger les écritures, procédons à des copies de nos variables
1. Vocabulaires et premières définitions
Soit une population \(\mathcal P\) de taille \(n\), on s’intéresse maintenant à deux caractères, le caractère \(X\) et le caractère \(Y\).
Série statistique bivariée \((x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)\): A chaque individu \(i\) de la population, on observe \((x_i,y_i)\).
Modalités Valeurs distinctes prises par la série. Notons
Pour \(j=1,\cdots,J\), on note \(m^X_{j}\) les modalités de \(X\) et \(n_{j\cdot}\) l’effectif de \(m^X_{j}\).
Pour \(k=1,\cdots,K\), on note \(m^Y_{k}\) les modalités de \(Y\) et \(n_{\cdot k}\) l’effectif de \(m^Y_{k}\).
Pour \(k=1,\cdots,K\) et \(j=1,\cdots,J\) on note \(n_{j k}\), l’ effectif croisé des modalités \((m^X_{j},m^Y_{k})\).
📌 Si l’une des deux variables (ou les deux) est quantitative continue, remplacer respectivement par des classes!
Tableau de contingence:
Tableau à double entrées : effectifs croisés \(n_{jk}\)
| L1_2 | L3 | M1_2 | |
|---|---|---|---|
| F | 5 | 16 | 2 |
| H | 1 | 12 | 2 |
Tableau des fréquences/Distribution empirique jointe:
Tableau à double entrées : fréquences croisés \(f_{jk}\in(0,1)\)
| L1_2 | L3 | M1_2 | |
|---|---|---|---|
| F | 0.1315789 | 0.4210526 | 0.0526316 |
| H | 0.0263158 | 0.3157895 | 0.0526316 |
Tableaux des fréquences marginales /distributions marginales:
Tableaux des fréquences marginales \(f_{j\cdot}\in(0,1)\) et \(f_{\cdot k}\in(0,1)\)
| sexe | Freq |
|---|---|
| F | 0.6052632 |
| H | 0.3947368 |
| niveau | Freq |
|---|---|
| L1_2 | 0.1578947 |
| L3 | 0.7368421 |
| M1_2 | 0.1052632 |
Tableaux des fréquences conditionnelles :
Profils colonnes (\(Y/X\)) :Tableau des distibutions empiriques conditionnelles de \(\left(Y=m^Y_k/m^X_j\right)_{k=1,\cdots,K}\): chaque colone \(k\) correspond à la distribution conditionnelle de \(Y=m^Y_k/m^X_j\) \[f_{k | j} = \frac{f_{jk}}{f_{j\cdot}}.\]
Profils lignes (\(X/Y\)) Tableau des distibutions empiriques conditionnelles de \(\left(X=m^X_j/Y=m^Y_k\right)_{j=1,\cdots,J}\): chaque ligne \(j\) correspond à la distribution conditionnelle de \(X=m^X_j/Y=m^Y_k\) \[f_{j | k} = \frac{f_{jk}}{f_{\cdot k}}.\]
| L1_2 | L3 | M1_2 | |
|---|---|---|---|
| F | 0.8333333 | 0.5714286 | 0.5 |
| H | 0.1666667 | 0.4285714 | 0.5 |
| L1_2 | L3 | M1_2 | |
|---|---|---|---|
| F | 0.2173913 | 0.6956522 | 0.0869565 |
| H | 0.0666667 | 0.8000000 | 0.1333333 |
Task 1
Task 1.A.
Afficher le tableau de la distribution empirique jointe des variables
(sexe,Score).
Solution
| =3 | inf à 3 | sup à 3 | |
|---|---|---|---|
| F | 0.2631579 | 0.2631579 | 0.0789474 |
| H | 0.1315789 | 0.1052632 | 0.1578947 |
Task 1.B.
Afficher le tableau des distributions empiriques marginales des
variables sexe et Score.
Solution
| sexe | Freq |
|---|---|
| F | 0.6052632 |
| H | 0.3947368 |
| Score | Freq |
|---|---|
| =3 | 0.3947368 |
| inf à 3 | 0.3684211 |
| sup à 3 | 0.2368421 |
Task 1.C.
Afficher le tableau des profils colonnes et des profils lignes pour
les variables sexe et Score.
💡 Bon à savoir !
La commande tapply permet de calculer un indicateurs
(moyennes, des écarts types,…) d’une variable quantitative \(X\) en fonction des modalités d’un ou deux
facteurs. tapply(X,facteur,indicateur)
| x | |
|---|---|
| L1_2 | 19.66667 |
| L3 | 21.17857 |
| M1_2 | 26.00000 |
| L1_2 | L3 | M1_2 | |
|---|---|---|---|
| F | 19.8 | 20.68750 | 29.5 |
| H | 19.0 | 21.83333 | 22.5 |
2. Tests : Existe-t-il un lien entre deux variables ?
Tests:
\(H_0\): Pas de lien vs \(H_1\) :Lien
Tests paramétriques (TP) : puissants mais pas toujours possibles (sous conditions).
Tests non-paramétriques (TNP) : moins puissants mais les conditions d’application sont moins strictes.
📌 Bon à savoir !
\(p\)-value petite \(\Rightarrow\) rejet de \(H_0\) donc Lien
\(p\)-value grande \(\Rightarrow\) non rejet de \(H_0\) donc Pas de lien
##
## Fisher's Exact Test for Count Data
##
## data: sexe and niveau
## p-value = 0.5443
## alternative hypothesis: two.sided👀 Grande \(p\)-value, non rejet d’\(H_0\) donc pas de lien.
Qualitative \(F1\) & qualitative \(F2\)
Test exact de Fisher (TNP). \(\ H_0\): Indépendance vs \(H_1\) : dépendance.
Command R : fisher.test(F1,F2)
##
## Fisher's Exact Test for Count Data
##
## data: sexe and niveau
## p-value = 0.5443
## alternative hypothesis: two.sided👀 Grande \(p\)-value, non rejet d’\(H_0\) donc pas de lien.
Qualitative \(F\) (2 modalités) & numérique \(X\)
Test de Wilcoxon (TNP). \(\ H_0\): \(median_1=median_2\) vs \(H_1\) : \(\overline{H_0}\).
Command R : wilcox.test(X ~ F)
##
## Wilcoxon rank sum test with continuity correction
##
## data: taille by sexe
## W = 6, p-value = 6.51e-07
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0👀 Petite \(p\)-value, rejet d’\(H_0\), il existe un lien.
Qualitative \(F\) (3 modalités) & numérique \(X\)
Test de Kruskal-Wallis (TNP). \(\ H_0\): \(median_i\) égales vs \(H_1\) : \(\overline{H_0}\).
Command R : kruskal.test(X ~ F)
##
## Kruskal-Wallis rank sum test
##
## data: age by niveau
## Kruskal-Wallis chi-squared = 12.191, df = 2, p-value = 0.002252👀 Petite \(p\)-value, rejet d’\(H_0\), il existe un lien.
Numérique \(X\) & numérique \(Y\)
Test de Spearman (corrélation). \(\ H_0\): \(corr_{X,Y}=0\) vs \(H_1\) : \(\overline{H_0}\).
Command R :
cor.test(X,Y,method="spearman")
##
## Spearman's rank correlation rho
##
## data: age and taille
## S = 7844.8, p-value = 0.3964
## alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
## sample estimates:
## rho
## 0.1416105👀 Grande \(p\)-value, non rejet d’\(H_0\), il n’existe pas de lien.
Task 3
Task 3.A.
Existe-t-il un lien entre les variables qualitatives
Score et niveau? Faire un test.
Solution
##
## Fisher's Exact Test for Count Data
##
## data: Score and niveau
## p-value = 0.8311
## alternative hypothesis: two.sided👀 Grande \(p\)-value, non rejet d’\(H_0\) donc pas de lien.
Task 3.B.
Existe-t-il un lien entre la variable quantitative age
et la variable qualitative sexe? Faire un test.
Solution
##
## Wilcoxon rank sum test with continuity correction
##
## data: age by sexe
## W = 106.5, p-value = 0.04496
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0👀 Petite \(p\)-value, rejet d’\(H_0\) donc lien.
Task 3.C.
Existe-t-il un lien entre la variable quantitative age
et la variable qualitative Score? Faire un test.
Solution
##
## Kruskal-Wallis rank sum test
##
## data: age by Score
## Kruskal-Wallis chi-squared = 1.1904, df = 2, p-value = 0.5515👀 Grande \(p\)-value, non rejet d’\(H_0\) donc pas de lien.
Task 3.D.
Existe-t-il un lien entre la variable quantitative age
et la variable qualitative scoreNum? Faire un test.
Solution
##
## Spearman's rank correlation rho
##
## data: age and scoreNum
## S = 7952.9, p-value = 0.4374
## alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
## sample estimates:
## rho
## 0.1297848👀 Grande \(p\)-value, non rejet d’\(H_0\) donc pas de lien.
3. Représentations graphiques
Qualitative \(F1\) & Qualitative \(F2\)
Qualitative \(F1\) & Qualitative \(F2\): Comparaison par diagrammes en barres de 2 facteurs.
Qualitative \(F\) & Numérique \(X\)
Qualitative \(F\) & Numérique \(X\):
Comparaison par histogramme: Histogramme de \(X\) suivant les modalités de \(F\).
Comparaison par boxplots: Boxplots de \(X\) suivant les modalités de \(F\).
Diagramme en barres: Comparaison d’un indicateur (moyenne, écart type,…) de \(X\) suivant les modalités de \(F\)
plot_ly(x = age, color = sexe,type = 'histogram', nbinsx = 5) %>%
layout(xaxis = list(title = 'Taille'),yaxis = list(title = 'Effectif'))plot_ly(y = tapply(taille,sexe,sd),x=levels(sexe), type = 'bar',marker = list(color =c( "cyan","blue"))) %>%
layout(xaxis = list(title = 'Taille'),yaxis = list(title = 'Ecart type'))Task 5
Task 5.A.
Afficher les boxplots de la variable age suivant les
modalités de la variable Score.
Task 5.B.
Comparer l’age moyen des participants suivant leur
niveau via une représentation graphique.
Numérique \(X\) & Numérique \(Y\)
Numérique \(X\) & Numérique \(Y\):
La fonction
corrplotde la librairiecorrplotpermet une visualisation 2 à 2 des corrélations : Uniquement pour les variables numériques.- Interprétation par forme : “rond” = aucune corrélation \(\longrightarrow\) “trait”= corrélation linéaire.
- Interprétation par couleur : “clair” = aucune corrélation \(\longrightarrow\) “fonçé”= corrélation linéaire.
- De plus si l’ellipse est penche vers la guauche cela correspond à une corrélation négative et vers la droite correspond à une corrélation positive.
Pour aller plus loin La fonction
ggpairsde la librairieGGallyaffiche une visualisation 2 à 2 des des variables. Il est possible de choisir une variables catégorielles pour faire ces représentations en fonction des modalités de cette dernière.
library(corrplot)
Data_numerique<-mydata[,c(2,3,5)]
correlation_matrix<-cor(Data_numerique)
corrplot(correlation_matrix, method="ellipse", type = "upper",addCoef.col = "black")
Numérique \(X\) & Numérique \(Y\):
Une reprensentation visuelle de \(Y\) par rapport à \(X\) est le nuage de points.
Auquel on peut ajouter la courbe \(f\) la plus proche de tous les points \[ y=\left\{\begin{array}{ll} f(x)=ax+b & \text{la droite des moindres carrés}\\ f(x)& \text{estimé de façon non paramétrique}\\ \end{array} \right. \]
Fonction ggplot()
de R
ggplot(mydata): crée une fenêtre et appelle le jeu de donnéeggplot(mydata)+ aes(x = age, y =taille,color=sexe): crée deux axes: un axe des abscisses nomméageet un axe des ordonnées nommétailleAjouter
+ geom_point(): affiche des points de coordonnées \(x_i=`age_i`\) et \(y_i=`taille_i`\)Ajouter
+ geom_smooth()ajoute le tracé de la fonction la plus “proche” de tous les pointsAjouter
+ geom_smooth(method = "lm")ajoute le tracé de la droite affine la plus “proche” de tous les points, c’est la droite des moindres carrées.l’option
se = FALSEpermet de ne pas afficher l’intervalle de confiance autour de la droite.
p1<-ggplot(mydata)+ aes(x = age, y =taille)
p2<-p1+ geom_point(col='red', size = 0.5)
p3<-p2+ geom_smooth(se = FALSE)
p4<-p2+ geom_smooth(method = "lm",se = FALSE)
# library(gridExtra) si on ne veut pas de graphes interactifs
#grid.arrange(p1,p2, p3, p4, ncol = 2)
# Comme subplot de la library(plotly) permet de rendre ces 4 plots intéractifs
subplot(p1,p2, p3, p4, nrows = 2)Numérique \(X\) & Numérique \(Y\) & Qualitative \(F\)
Numérique \(X\) & Numérique \(Y\) & Qualitative \(F\):
Pour une reprensentation visuelle en Nuages de points \((X,Y)\) par modalités d’un facteur \(F\)
il suffit de préciser précisé color=F ici:
ggplot(mydata)+ aes(x = X, y =Y,color=F)+ geom_point()
Ainsi les points sont colorés en fonction des modalités du facteur
donné, ici sexe
p1 <- ggplot(mydata) + aes(x = age, y = taille, color = sexe) + geom_point(size = 0.5)
p2 <- p1 + geom_smooth(aes(x = age, y = taille), se = FALSE)+guides(color = FALSE)
p4 <- p1 + geom_smooth(aes(x = age, y = taille), method = "lm",se = FALSE)
subplot(p2, p4, nrows = 1) %>%
layout(title = "Taille en fonction de l'age et genre",
xaxis = list(title = "Age"),
yaxis = list(title = "Taille"))Task 6
Task 6.A.
Dessiner le nuage de points
(age,scoreConnaissance).Afficher la droite des
moindres carrées.
Solution
ggplot(mydata)+ aes(x = age, y =scoreConnaissance)+ geom_point(col='red', size = 0.5)+ geom_smooth(method = "lm",se = FALSE)
Task 6.B.
Dessiner les 3 nuages de points
(age,scoreConnaissance) par modalités de la
variable niveau. Afficher les 3 droites des moindres
carrées.
